1.分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。

    2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，把原问题分解成相对独立的“小问题”来处理，综合对这些小问题的解答，便可推解出原问题的结论。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

    3.分类原则：确定分类对象，分类科学、标准统一，不重不漏，分层次，不越级讨论。

    4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。

    5．分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。　

二、例题分析

例1、（2007上海）直角坐标系 中， 分别是与 轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若 ，则k的可能值个数是（　）

　　　　A．1     B．2    C．3      D．4

　分析：　由 （2，1）， （3，k），得 （1，k－1），

　　由于 为直角三角形，则 ， ， 都可能为直角，

　　由向量数量积为0，分别有 或 或 ，

　　解得 或 ．故选B

例2.（2007天津）在数列 中， ，其中λ＞0．求数列 的前 项和 ．

　　　解：由 ， ，可得

　　 ，

　　所以 为等差数列，其公差为1，首项为0，

　　故 ，所以数列 的通项公式为 ．

　　设 ，　　　①

　　 　　　②

　　当 时，①式减去②式，

　　得 ，

　　 ．

　　这时数列 的前 项和 ．

　　当 时， ．这时数列 的前 项和 ．

例3.（2009四川）已知 函数 。

（I）求函数 的定义域，并判断 的单调性；

（II）若

（III）当 （ 为自然对数的底数）时，设 ，若函数 的极值存在，求实数 的取值范围以及函数 的极值。

解：（Ⅰ）由题意知

当

当

当

（Ⅱ）因为

由函数定义域知 >0,因为n是正整数，故0<a<1.

所以

（Ⅲ）

令

①    当m=0时， 有实根 ，在 点左右两侧均有 故无极值

②    当 时， 有两个实根

当x变化时， 、 的变化情况如下表所示：

的极大值为 ， 的极小值为

③    当 时， 在定义域内有一个实根，  

同上可得 的极大值为

综上所述， 时，函数 有极值；

当 时 的极大值为 ， 的极小值为

当 时， 的极大值为

例4．（2007·海南、宁夏）设函数 ．

（1）若当x=－1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于 ．

　　分析：函数的极值、单调性是函数的重要性质．极值问题的解决，需要利用导数知识判断在该点两侧函数的单调性；而函数单调性的讨论则需要考察相应导数的符号问题．

　解：（1） ，依题意有 ，故 ．

　　从而 ． 的定义域为 ．

　　当 时， ；

　　当 时， ；

　　当 时， ．

从而， 分别在区间 单调递增，在区间 单调递减．

（2） 的定义域为 ， ．

　　方程 的判别式 ．

　　（i）若 ，即 ，在 的定义域内 ，故 无极值．

　　（ⅱ）若 ，则 或 ．

　　若 ， ， ．

　　当 时， ，

　　当 时， ，所以 无极值．

　　若 ， ， ， 也无极值．

　　（ⅲ）若 ，即 或 ，则 有两个不同的实根

， ．

　　当 时， ，从而 在 的定义域内没有零点，故 无极值．当 时， ， ， 在 的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知 在 取得极值．

　　综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为 ．

　　f(x)的极值之和为：

　　 ．

　　评：本题主要考查函数的导数、极值、单调区间的求法，考查利用导数和函数知识解综合问题的能力.

　　求函数的单调区间，因函数的单调性可能是单调递增也可能是单调递减所以要讨论，其实质就是讨论导数的符号．

　　一般地可导函数的极值存在要求有两个条件：一是方程 在 的定义域内有解；二是在方程 的根的两边导数 的符号要相反．因此在利用导数求可导函数的极值时就要分两层讨论．